Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點．

（1）求滿足的關系式及的值；

（2）當時，求拋物線解析式，并直接寫出當時的取值范圍．

（3）當時，若的函數值隨的增大而增大，求的取值范圍；

（4）如圖，當時，在第二象限的拋物線上找點，使的面積最大，求出點坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=2a＋1，c=2；（2）；-2＜x＜3；（3）；（4）（-1,2）

【解析】

（1）先求出點A和點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入二次函數解析式中即可求出結論；

（2）聯立方程即可求出a和b的值，從而求出拋物線的解析式，然后求出拋物線的對稱軸，即可求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，最后根據圖象即可求出結論；

（3）用含a的式子表示出拋物線的對稱軸，然后根據拋物線對稱軸兩側的增減性即可求出結論；

（4）先求出拋物線的解析式，過點P作PQ⊥x軸交AB于點Q，設點P的坐標為（x，），則點Q的坐標為（x，），從而求出PQ，然后利用“鉛垂高，水平寬”即可求出S△PAB與x的函數關系式，然后利用二次函數求最值即可求出結論．

解：（1）將y=0代入中，解得：x=-2；將x=0代入中，解得：y=2

∴點A的坐標為（-2,0），點B的坐標為（0,2）

將點A、B的坐標代入中，得

解得：b=2a＋1，c=2；

（2）∵

解得：

∴拋物線解析式為

拋物線的對稱軸為：直線x==

∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為×2－（-2）=3

由圖象可知：當時，-2＜x＜3

（3）拋物線的對稱軸為直線x=，開口向下

∴x≤時，y隨x的增大而增大

∵當時，若的函數值隨的增大而增大，

∴≥0

∴2a＋1≥0

解得：a≥

∴

（4）當時，拋物線的解析式為

過點P作PQ⊥x軸交AB于點Q

設點P的坐標為（x，），則點Q的坐標為（x，）

∴PQ=（）－（）=

∴S△PAB=PQ·

=（）×2

=

=

∴當x=-1，S△PAB最大，S△PAB最大值為1

此時點P的坐標為（-1,2）