Question

如圖，點A在x軸的正半軸上，以OA為直徑作⊙P，C是⊙P上一點，過點C的直線y=

3

3

x+2

3

與x軸、y軸分別相交于點D、點E，連接AC并延長與y軸相交于點B，點B的坐標為（0，4

3

）．
（1）求證：OE=CE；
（2）請判斷直線CD與⊙P位置關系，證明你的結論，并請求出⊙P的半徑長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，利用已知條件計算出CE和OB的長度，再證明△BCO為直角三角形，利用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明OE=CE；
（2）①直線CD是⊙P的切線，證明PC⊥CD．②設⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理得到關于r的方程，求出r即可．

解答：解：（1）證明：連接OC，
∵直線y=

3

3

x+2

3

與y軸相交于點E，
∴點E的坐標為（0，2

3

），即OE=2

3

．
又∵點B的坐標為（0，4

3

），
∴OB=4

3

，
∴BE=OE=2

3

，
又∵OA是⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AB，
∴OE=CE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

（2）直線CD是⊙P的切線．
①證明：連接PC、PE，由①可知：OE=CE．
在△POE和△PCE，

PO=PC PE=PE OE=CE

，
∴△POE≌△PCE，
∴∠POE=∠PCE．
又∵x軸⊥y軸，
∴∠POE=∠PCE=90°，
∴PC⊥CE，即：PC⊥CD．
又∵直線CD經過半徑PC的外端點C，
∴直線CD是⊙P的切線；
②∵對y=

3

3

x+2

3

，當y=0時，x=-6，即OD=6，
在Rt△DOE中，DE=

OD2+OE2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
∴CD=DE+EC=DE+OE=4

3

+2

3

=6

3

．
設⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理知PC²+CD²=PD²，
即 r²+（6

3

）²=（6+r）²，
解得 r=6，即⊙P的半徑長為6．

點評：本題綜合考查了切線的性質、判定定理、勾股定理以及直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，具有較強的綜合性，有一定的難度．