Question

如圖，在直角坐標系中，點P的坐標是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點O和點P．已知正方形ABCD的三個頂點為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b的值，并寫出拋物線對稱軸及y的最大值（用含有n的代數(shù)式表示）；
（2）若拋物線與直線AD交于點N，求n為何值時，△NPO的面積為1；
（3）若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點O和點P，待定系數(shù)法即可求出b和c的值，然后求出拋物線的頂點坐標以及對稱軸；
（2）根據(jù)拋物線與直線AD交于點N，求出N點的坐標，然后根據(jù)三角形的面積公式寫出△NPO的面積S關于n的關系式，然后根據(jù)面積為1，求出n的值即可；
（3）拋物線經(jīng)過方形區(qū)域ABCD（含邊界），則求出拋物線過正方形四個頂點時n的值，然后求出n的取值范圍．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點O和點P，且p點坐標為（n，0），
∴c=0，b=n，
拋物線的解析式為y=-x²+nx，
拋物線的對稱軸x=，
頂點坐標為（，），
y的最大值為；

（2）∵正方形ABCD的三個頂點為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
∴直線AD的解析式為x=2，
∵拋物線與直線AD交于點N，
∴N點的坐標為（2，2n-4），
當n＞2時，S_△NPO=×n×（2n-4），
又知△NPO的面積為1，
∴n²-2n=1，
解得n=1±，
又∵n＞0，
∴n=1+；
當n=2時，P、N兩點重合，△NPO不存在，
當0＜n＜2時，n（4-2n）=1，解得n=1，
故當n=1+或n=1時，△NPO的面積為1；

（3）分別把A（2，2）、B（3，2）、C（3，3）、D（2，3）中的橫坐標、縱坐標代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+nx中，
解得n=3；n=，n=4，n=，
若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），
則n的取值范圍是3≤n≤4．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題（2）問時需要對n進行分類討論，否則只求出一種答案，解答（3）問時考慮臨界的四個頂點，此題有一定的難度．