Question

1．如圖，直線y=-x+3分別交x軸于點B、交y軸于點C，經過B、C兩點的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．
（1）求點A的坐標；
（2）求該拋物線的函數表達式；
（3）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標；
（4）連結AC，請問在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△ACQ的周長最�。咳舸嬖�，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據直線y=-x+3分別交x軸于點B、交y軸于點C，經過B、C兩點的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2，可以求得點B、點C的坐標，從而可以求得點A的坐標；
（2）根據第（1）問中求得的點A、B、C的坐標可以求得該拋物線的函數表達式；
（3）根據三角形的外接圓的圓心到圓上各點的距離都相等，都等于半徑，由點A、B、C的坐標，設外接圓圓心的坐標為（2，m）可以求得點m的值和外接圓的半徑；
（4）先說明存在，然后根據題目中的條件可以求得相應的點Q的坐標．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸的交點分別為B、C，
∴當x=0時，y=3，當y=0時，x=3，
∴點B、C的坐標分別為（3，0）、（0，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A、B，且對稱軸是直線x=2，
∴點A的坐標為（1，0）；
（2）∵點A、B是拋物線與x軸的兩個交點，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），
∴設該拋物線的函數表達式為：y=a（x-1）（x-3），
又∵點C（0，3）在拋物線上，
∴3=a（0-1）•（0-3），
解得，a=1，
∴y=（x-1）•（x-3）=x²-4x+3，
即該拋物線的函數表達式為：y=x²-4x+3；
（3）設△ABC的外心坐標為（2，m），
∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），
∴$\sqrt{（m-0）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{（m-3）^{2}+（2-0）^{2}}$，
解得：m=2，
∴$\sqrt{（m-3）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{（2-3）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
即△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{5}$，外心坐標為（2，2）；
（4）存在點Q，使得△ACQ的周長最小．
如下圖所示，

∵點Q在拋物線的對稱軸上，點A與點B關于直線x=2對稱，
∴QC+QA的最小值是QB+QC的最小值，
∵兩點之間線段最短，
∴點Q是直線BC與直線x=2的交點，
設過點B（3，0），點C（0，3）的直線的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得，k=-1，b=3，
∴y=-x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=2}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴點Q的坐標為：（2，1），
即當Q為（2，1）時，△ACQ的周長最小．

點評 本題考查二次函數綜合題、二次函數的解析式、二次函數的圖象關于對稱軸對稱、三角形的外接圓和外心、三角形周長的最小值，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答問題．