Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC=60°，AB=2BC，連接OE．下列結論：

①∠ACD=30°，②SABCD=ACBC；③OE：AC=：6；④S△OCF=2S△OEF，⑤△OEF∽△BCF成立的個數有（　　）

A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到SABCD=ACBC，故②正確，根據直角三角形的性質得到AC=BC，根據三角形的中位線的性質得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③正確；由三角形的中位線可得BC∥OE，可判斷△OEF∽△BCF，故⑤正確；根據相似三角形的性質得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正確．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵CE平分∠BCD交AB于點E，

∴∠DCE=∠BCE=60°

∴△CBE是等邊三角形，

∴BE=BC=CE，

∵AB=2BC，

∴AE=BC=CE，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；

∵AC⊥BC，

∴SABCD=ACBC，故②正確，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴AC=BC，

∵AO=OC，AE=BE，

∴OE=BC，

∴OE：AC=：6；故③正確；

∵AO=OC，AE=BE，

∴OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，故⑤正確；

∴=2

∴S△OCF：S△OEF==2，

∴S△OCF=2S△OEF；故④正確．

故選：D．