Question

如圖①，平面直角坐標系中的?AOBC，∠AOB=60°，OA=8cm，OB=10cm，點P從A點出發沿AC方向，以1cm/s速度向C點運動；點Q從B點同時出發沿BO方向，以3cm/s的速度向原點O運動．其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求出A點和C點的坐標；
（2）如圖②，從運動開始，經過多少時間，四邊形AOQP是平行四邊形；
（3）在點P、Q運動的過程中，四邊形AOQP有可能成為直角梯形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．（圖③供解題時用）

Answer 1

解：（1）過點A作AD垂直OB于點D，垂足為D
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=cm
由勾股定理，得AD=4cm
∴A（4，4）
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4）．

（2）設經過t秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形
則有AP=OQ
即t=10-3t，t=（秒）
故經過秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形．

（3）四邊形AOQP能成為直角梯形．
設經過t秒鐘，四邊形AOQP是直角梯形，
如圖③所示，四邊形ADQP是矩形則有AP=DQ
即t=10-3t-4，t=（秒）
故四邊形AOQP是直角梯形．
分析：（1）因為AO=8為已知，∠AOB=60°，可利用三角函數中，正弦或余弦求出A點的橫坐標以及縱坐標，至于C，因為AC連線與X軸平行，所以和A點縱坐標相等，橫坐標在A的基礎上加10即可．
（2）四邊形AOQP如果是平行四邊形，則必須有AP=OQ，可根據P、Q運動速度，以及運動時間t，求出AP和OQ的長，從而列方程解答即可．
（3）如圖，道理同（2），只要AP=DQ即可說明是一個直角梯形，所以用含有t的式子把AP、DQ表示出來后，解方程即可．
點評：本題主要考查了平行四邊形、直角梯形的判定，難易程度適中．