Question

4．如圖1，直線AB交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸正半軸于點B（0，b），且a、b滿足$\sqrt{a-4}$+|4-b|=0．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）C為OA的中點，作點C關于y軸的對稱點D，以BD為直角邊在第二象限作等腰Rt△BDE，過點E作EF⊥x軸于點F．若直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分，求k的值；
（3）如圖2，P為x軸上A點右側任意一點，以BP為邊作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直線MA交y軸于點Q，當點P在x軸上運動時，線段OQ的長是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求線段OQ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用非負性即可求出a，b即可得出結論；
（2）先判斷出△DEF≌△BDO，得出EF，OF，即可求出四邊形OBEF的面積為18，再分兩種情況討論計算即可．
（3）先判斷出△PBO≌△MPN，進而判斷出△BAQ是等腰直角三角形．即可得出OQ=4即可得出結論．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-4}$+|4-b|=0．
∴a-4=0，4-b=0，
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）由（1）知，B（0，4）；
∴OB=4，
∵C為OA的中點，
∴OC=2，
∴C（2，0），
∵點C關于y軸的對稱點D，
∴D（-2，0），
∴OD=2；
∵BD為直角邊在第二象限作等腰Rt△BDE，
①如圖，當BD=BE，∠DBE=90°時，過點E作EH⊥OB于H，
∴∠BHE=90°，
∴∠BEH+∠HBE=90°，
∵∠DBE=90°，
∴∠HBE+∠OBD=90°，
∴∠BEH=∠OBD，
在△OBD和△HEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOD=∠EHB=90°}\\{∠OBD=∠BEH}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△HEB，
∴BH=OD，EH=OB，
∵D（-2，0），B（0，4），
∴OB=4，OD=2，
∴BH=2，EH=4，
∴OH=OB+BH=6，∴E（-4，6），
∴EF=OH=6，OF=EH=4，
∴S_{四邊形OBEF}=$\frac{1}{2}$（OB+EF）×OF=20，
∵直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分，
∴S_{四邊形OBGF}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形OBEF}=10，
∴S_{四邊形OBGF}=$\frac{1}{2}$（FG+OB）×OF=$\frac{1}{2}$×（FG+4）×4=2（FG+4）=10，
∴FG=1，∴G（-4，1）
將G（-4，1）代入直線y=kx-4k，得，1=-4k-4k，
∴k=-$\frac{1}{8}$．
②如圖1，當DE=BD，∠BDE=90°時，
∴∠EDF+∠BDO=90°，
∵EF⊥x軸于點F．
∴∠EDF+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠BDO，
在△DEF和△BDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠BOD=90°}\\{∠DEF=∠BDO}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BDO，
∴EF=OD=2，DF=OB=4，
∴OF=6，
∴F（-6，2），
∴S_{四邊形OBEF}=$\frac{1}{2}$（EF+OB）•OF=$\frac{1}{2}$×（2+4）×6=18，
∵直線y=kx-4k將四邊形OBEF分為面積相等的兩部分，
∴直線y=kx-4k分成的兩部分的面積為9，
∵直線y=kx-4k恒過A（4，0），
∴Ⅰ、當直線y=kx-4k和線段EF相交，
∴S_{四邊形OHGF}=9，
∵H（0，-4k），
∴OH=-4k，
∵G點的橫坐標為-6，
∴G（-6，-10k），
∴FG=-10k，
∴S_{四邊形OHGF}=$\frac{1}{2}$（-4k-10k）×6=9，
∴k=-$\frac{3}{14}$，
Ⅱ、當直線y=kx-4k①和線段EB相交，
∴S_△MBN=9，
∵N（0，-4k），
∴BN=4（k+1），
∵B（0，4），E（-6，2），
∴直線BE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+4②，
聯立①②得，點M的橫坐標為$\frac{12（k+1）}{3k-1}$，
∴S_△MBN=$\frac{1}{2}$×4（k+1）×$\frac{12（k+1）}{1-3k}$=9，
∴k=$\frac{-25-5\sqrt{15}}{16}$（舍）或k=$\frac{-25+5\sqrt{15}}{16}$．
即：滿足條件的k的值為-$\frac{1}{8}$或-$\frac{3}{14}$或$\frac{-25+5\sqrt{15}}{16}$．

（3）如圖2，

過M作MN⊥x軸，垂足為N．
∵∠BPM=90°，
∴∠BPO+MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，
∴∠BPO=∠PMN，∠PBO=∠MPN．
∵BP=MP，
∴△PBO≌△MPN，
∴MN=OP，PN=AO=BO，
∴OP=OA+AP=PN+AP=AN，
∴MN=AN，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴無論P點怎么動，OQ的長不變．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了非負性，全等三角形的判定和性質，梯形的面積公式，三角形的面積公式，等腰直角三角形的判定和性質，解本題的關鍵是求出k的值．