Question

已知：如圖AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m為實數）的兩根．
（1）求證：BE=BD．
（2）若GE•EF=6

3

，求∠A的度數．

Answer 1

分析：（1）要證明BE=BD，就要根據BE、BD恰好是關于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m為實數）的兩根，來判斷，是它的兩根，可見此方程有根，所以求出△，必須≥0．利用這求出m的值．從而求出這個方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的長度；
（2）要求∠A的度數就要利用直角三角形的角邊關系，求出在Rt△ACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值．這就要利用題中給出的條件利用相似三角形來求．

解答：（1）證明：∵BE、BD是關于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0的兩根，
∴△=（-6）²-4（m²+4m+13）=-4（m+2）²≥0，∴m=-2，（2分）
原方程為x²-6x+9=0，
解之，得x₁=x₂=3，
∴BE=BD=3；（4分）

（2）解：由相交弦定理得AE•BE=GE•FE=6

3

∴AE=2

3

（5分）
∵PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易證△PBD∽△PAE，
∴

BD

AE

=

PD

PE

△PDC∽△PEB
∴

DC

EB

=

PD

PE

（9分）
∴

BD

AE

=

DC

EB

，DC=

BD•EB

AE

=

3×3

2 3

=

3 3

2

（10分）
在Rt△ACB中，sinA=

BC

AB

=

3+ 3 3 2

3+2 3

=

6+3 3

6+4 3

=

3(2+ 3 )

2 3 ( 3 +2)

=

3

2

∴∠A=60°；（12分）

方法二：易證△PBC∽△PAB，
∴

BC

AB

=

PB

PA

∵△PBD∽△PAE
∴

BD

AE

=

PB

PA

（9分）
∴

BC

AB

=

BD

AE

（10分）
sin∠A=

BC

AB

=

BD

AE

=

3

2 3

=

3

2

∴∠A=60°（12分）

點評：本題綜合考查了學生圓的有關知識，及一元二次方程根的判別式的性質．本題的綜合性質很強，所以學生在學習時思維一定要開闊，要把各知識系統起來．