Question

（2003•黃石）梯形ABCD中AB∥CD，對角線AC、BD垂直相交于H，M是AD上的點，MH所在直線交BC于N．在以上前提下，試將下列設定中的兩個作為題設，另一個作為結論組成一個正確的命題，并證明這個命題．
①AD=BC；②MN⊥BC；③AM=DM．

Answer 1

【答案】分析：可以寫出3個命題命題I：1，3，?2
由等腰梯形的性質證得△ADH≌△BCH，得∠DAH=∠CBH，在Rt△AHD中，由AM=DM，得出∠MAH=∠MHA，證得△CHN∽△CHN而∠CHB=90°故有∠HNC=90°即MN⊥BC；
命題II：1，2，?3
由于Rt△HNC∽Rt△CHB，有∠CHN=∠HBC而∠MAH=∠HBC，得到∠CHN=∠MHA=∠MAH，由等邊對等角知，MH=MA，又△DHA為直角三角形，故有AM=DM；
命題III：1，2，?3
由于Rt△HNC∽Rt△CHB有∠CHN=∠HBC，在Rt△AHD中，有∠MAH=∠MHA，而∠MHA=∠CHN故有∠DAH=∠CBH得到Rt△DHA∽Rt△CHB
有AD：BC=DH：CH=AH：HB  （1）
又CD∥AB∴△DHC∽△AHB，
有DH：HB=CH：HA（2）
由（1）（2）知AD=BC
解答：解：命題1：1，3，?2，
在梯形ABCD中，∵AD=BC，
∴△ADH≌△BCH，
∴∠DAH=∠CBH，
在Rt△AHD中，AM=DM，
∴AM=HM
∴∠MAH=∠MHA，
又∠MHA=∠CHN
∴∠CHN=∠CBH
∴△CHN∽△CHN而∠CHB=90°
∴∠HNC=90°即MN⊥BC，
命題2：1，2，?3
∵MN⊥BC，
∴Rt△HNC∽Rt△CHB
∴∠CHN=∠HBC而∠MAH=∠HBC
∴∠CHN=∠MHA=∠MAH，
∴MH=MA，又△DHA為直角三角形，
∴AM=DM，
命題3：1，2，?3
∵HN⊥BC，
∴Rt△HNC∽Rt△CHB
∴∠CHN=∠HBC，
又在Rt△AHD中，AM=DM，
∴MH=MA，
∴∠MAH=∠MHA，而∠MHA=∠CHN
∴∠DAH=∠CBH
∴Rt△DHA∽Rt△CHB
∴AD：BC=DH：CH=AH：HB  （1）
又CD∥AB∴△DHC∽△AHB，
∴DH：HB=CH：HA（2）
由（1）（2）知AD=BC
點評：本題利用了梯形的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質求解