Question

（2013•湘潭）如圖，在坐標系xOy中，已知D（-5，4），B（-3，0），過D點分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點，動點P從O點出發，沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右運動，運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，PC∥DB；
（2）當t為何值時，PC⊥BC；
（3）以點P為圓心，PO的長為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與△BCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）過D點分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點，求出DC=5，OC=4，OB=3，根據四邊形DBPC是平行四邊形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；
（2）證△PCO∽△CBO，得出

4

3

=

PO

4

，求出OP=

16

3

即可；
（3）設⊙P的半徑是R，分為三種情況：①當⊙P與直線DC相切時，過P作PM⊥DC交DC延長線于M，求出PM、OP的長即可；
②當⊙P與BC相切時，根據△COB∽△PBM得出

4

R

=

5

3+R

，求出R=12即可；③當⊙P與DB相切時，證△ADB∽△MPB得出

4

R

=

2 5

3+R

，求出R即可．

解答：解：（1）∵D（-5，4），B（-3，0），過D點分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點，
∴DC=5，OC=4，OB=3，

∵DC⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴DC∥BP，
∵PC∥DC，
∴四邊形DBPC是平行四邊形，
∴DC=BP=5，
∴OP=5-3=2，
2÷1=2，
即當t為2秒時，PC∥BD；

（2）∵PC⊥BC，x軸⊥y軸，
∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，
∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，
∴∠CPO=∠BCO，
∴△PCO∽△CBO，
∴

OC

BO

=

OP

CO

，
∴

4

3

=

PO

4

，
∴OP=

16

3

，

16

3

÷1=

16

3

，
即當t為

16

3

秒時，PC⊥BC；

（3）設⊙P的半徑是R，
分為三種情況：①當⊙P與直線DC相切時，
如圖1，過P作PM⊥DC交DC延長線于M，

則PM=OC=4=OP，
4÷1=4，
即t=4；
②如圖2，當⊙P與BC相切時，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，
∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，
∴△COB∽△PMB，
∴

CO

PM

=

BC

BP

，
∴

4

R

=

5

3+R

，
R=12，
12÷1=12，
即t=12秒；
③根據勾股定理得：BD=

22+42

=2

5

，
如圖3，當⊙P與DB相切時，

∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，
∴△ADB∽△MPB，
∴

AD

PM

=

DB

BP

，
∴

4

R

=

2 5

3+R

，
R=6

5

+12；
（6

5

+12）÷1=6

5

+12，
即t=（6

5

+12）秒．

點評：本題考查了勾股定理，切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的計算和推理能力．