Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．

Answer 1

證明：在AC上取AF=AE，連接OF，
∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO與△AFO中，
∵
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°
則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，
則∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD．
分析：在AC上取AF=AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再證得∠COF=∠COD，則根據全等三角形的判定方法AAS即可證△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得結論．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，涉及到三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．