Question

在三角形ABC中，CD⊥AB，CD=3，AD=，BD=．
（1）求證：△ACD∽CBD；
（2）用圓規和直尺作出以AB為直徑的圓O（保留作圖痕跡），判斷C點和圓O的位置關系，并說明理由；
（3）若E為直徑AB上的一動點，連接CE交⊙O于F點，當△CBF為等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形特殊角的銳角三角函數值即可推出∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，求得∠ACB=90°后，即可求證△ACB∽△CBD；
（2）作AB的中垂線找到的中點O，然后以O點為圓形，OA為半徑畫圓即可；根據（1）所推出的結論∠ACB=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可推出C點在⊙O上；
（3）根據點E所移動的位置分情況進行討論，根據題意畫出圖形，
①如圖2，若BC=BF，根據弦與所對弧的關系推出，由直徑AB，即可求出，從而推出∠CBA=∠FBA，確定BE⊥CF，由CD⊥AB，即可確定點E與點D重合，即可求出AE的長度，
②如圖3，若FB=FC，連接OF，OC，由已知，可推出OA=OF=2，再根據含30度角的直角三角形的性質推出AC的長度，根據三角形內角和定理推出∠ACE=∠FBE后，通過求證△CFO≌△BFO，推出對應角相等，然后由OC=OF，確定∠FCO=∠OFC，通過等量代換求出∠ACE=∠OFC后，即可求出OF∥AC，從而的比例式AE：OE=AC：OF，根據比例式的性質對比例式變形后即可推出AE=3-3．
解答：解：（1）∵CD⊥AB，CD=3，AD=，BD=，
∴，，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CBD．

（2）如圖1，為所作圖形，C點在⊙O上，
∵AB為⊙O的直徑，
∴O點為AB的中點，
∴OA=OB，
∴∠ACB=90°，
∵OC=OA=OB，
∴C點在⊙O上．

（3）①如圖2，若BC=BF，
∵△CBF為等腰三角形，
∴BC=BF，
∴，
∵直徑AB，
∴，
∴∠CBA=∠FBA，
∴BE平分頂角∠CBF，
∴BE⊥CF，
∵CD⊥AB，AD=3，
∴點E與點D重合，
∴AE=AD=3，
②如圖3，若FB=FC，連接OF，OC，
∵AD=3，BD=，
∴AB=4，
∴OA=OF=2，
∵∠CAB=30°，CD=3，CD⊥AB，
∴AC=6，
∵∠A=∠CFB，∠AEC=∠EFB，
∴∠ACE=∠FBE，
∵等腰三角形CFB，
∴CF=BF，
∴在△CFO和△BFO中，
，
∴△CFO和△BFO（SSS），
∴∠FBO=∠FCO，
∴∠ACE=∠FCO，
∵OC=OF，
∴∠FCO=∠OFC，
∴∠ACE=∠OFC，
∴OF∥AC，
∴AE：OE=AC：OF，
∵AC=6，OF=2，OA=2，
∴AE=3-3．
點評：本題主要考查平行線的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、特殊角的三角函數值等知識點，（1）小題難度不大，關鍵在于熟練運用特殊角的三角函數值推出相關角的度數，（2）小題關鍵根據直角三角形斜邊上的中線的性質推出OC=OA=OB，難度不大，（3）小題難度較大，關鍵在于根據點E的不同位置畫出圖形分情況進行討論，正確的運用相關的性質定理求證相關三角形全等，求證AC∥OF，正確的推出比例式，然后認真的計算即可．