Question

如圖，在直角坐標系中，A點的坐標為（8，0），B點的坐標為（0，6），動點P以2/秒的速度從點B出發，沿BA向點A移動，同時動點Q以1/秒的速度從點A出發，沿AO向點O移動，設P、Q兩點移動t秒（0＜t＜5）．
（1）求AB的長；
（2）若四邊形BPQO的面積與△APQ的面積的比為17：3，求t的值；
（3）在P、Q兩點移動的過程中，能否使△APQ與△AOB相似？若能，求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理可求得AB的長；
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，過P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由對應線段成比例求得PC=；再由四邊形BPQO的面積與△APQ的面積的比為17：3，得出，由三角形的面積公式求解；
（3）若△APQ與△AOB相似，則要考慮以下2種情況：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．
解答：解：（1）由已知得，OA=8，OB=6（1分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
（3分）

（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
過P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴

∴
解得，PC=（4分）
∵四邊形BPQO的面積：△APQ的面積的比=17：3
∴（5分）
∴
解得，t₁=2，t₂=3（7分）

（3）若△APQ與△AOB相似，則有以下2種情況：
①∠AQP=90°
∴（8分）
解得，（9分）
此時，PQ=，OQ=
∴（10分）
②∠APQ=90°
過P作PD⊥OA于D
∴

解得，（11分）
此時，PD=，OD=，
∴（12分）
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為或（13分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理、三角形的面積計算、點的坐標等知識點，要注意第三問中，要分對應角的不同來得出不同的對應線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．