Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點D，CE為△ACD的角平分線，EF⊥BC于點F,EF交CD于點G,求證：BE=CG．

Answer 1

詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考察三角形全等的判定．由圖可知要說明BE=CG，可通過△BFE≌△GFC來說明．而△BFE≌△GFC需要對應邊和對應角，可由垂直、角平分線、輔助線來得到需要的條件.

試題解析：

過點A作AP⊥BC于點P, ∠APB=90°

∵AB=AC, ∴∠BAP=∠PAC ∵CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°

∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90° ∴∠BAP=∠PAC=∠BCD

∵CE平分∠DCA ∴∠ACE=∠ECD

∵∠APC+PCA+∠PAC=180° ∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=180°

∴2(∠BCD+∠ECD) =90°∴∠BCE=45°

∵EF⊥BC, ∴∠EFC=90°

∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°∴∠FEC=∠ECF ∴ EF=FC

∵EF⊥BC, ∠EFC=∠APC=90°∴EF∥AP ∴∠BEF=∠BAP=∠BCD

∵EF⊥BC ∴∠BFE=∠EFC=90° ∴△BFE≌△GFC ∴BE=CG

考點：（1）三角形全等的條件；（2）全等三角形的性質：（3）等角對等邊.