Question

【題目】如圖，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；

（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：AO⊥BO．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形；證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）易證∠CAO＝∠AOG和∠CAO＝∠GAO，即可判定△AOG是等腰三角形；

（2）連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，易證△ANG≌△BKG，即可證明∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，根據三角形內角和為180°即可解題．

解：（1）△AOG是等腰三角形；

證明：∵AC∥y軸，

∴∠CAO＝∠AOG，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO＝∠GAO，

∴∠GAO＝∠AOG，

∴AG＝GO，

∴△AOG是等腰三角形；

（2）連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，

∵AC∥y軸，點B、C關于y軸對稱，

∴AN＝CK＝BK，

在△ANG和△BKG中，

，

∴△ANG≌△BKG（AAS），

∴AG＝BG，

∵AG＝OG，（1）中已證，

∴AG＝OG＝BG，

∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，

∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，

∴∠AOG+∠BOG＝90°，

∴AO⊥BO．