Question

如圖，已知在Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，AN是過點A的任一條直線，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E．
（1）求證：DE=BD-CE；
（2）如將直線AN繞A點沿順時針方向旋轉，使它不經過△ABC的內部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之間還存在等量關系嗎？如存在，請證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
又∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE=CE+DE，
∴BD=DE+CE，
即DE=BD-CE．

（2）DE=BD+CE．
證明與（1）相同．
分析：（1）證明△ABD≌△CAE，即可證得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可證得；
（2）圖形變換了，但是（1）中的全等關系并沒有改變，可得DE、DB、CE之間的等量關系．
點評：根據條件證明兩個三角形全等是解決本題的關鍵，注意在圖形的變化中找到其中不變的因素．