Question

方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實根，若方程x²+2ax+k=0也有相異兩實根，且其兩根介于上面方程的兩根之間，則k的取值范圍是______．

Answer 1

∵方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實根，
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，
又∵方程x²+2ax+k=0有相異兩實根，
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；
對于二次函數y₁=x²+2ax+a-4，y₂=x²+2ax+k，它們的對稱軸相同，且與x軸都有兩個不同得交點，要讓y₂與x軸兩個交點都在y₁與x軸兩個交點之間，則要滿足y₂與y軸的交點在y₁與y軸的交點上方，如圖，

則有k＞a-4，
所以k的取值范圍是 a-4＜k＜a²．
故答案為a-4＜k＜a²．