Question

如圖，P₁是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限圖象上的一點，點A₁的坐標為（2，0）．
（1）當(dāng)點P₁的橫坐標逐漸增大時，△P₁OA₁的面積將如何變化？
（2）若△P₁OA₁與△P₂A₁A₂均為等邊三角形，求此反比例函數(shù)的解析式及A₂點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P₁（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，可知y隨x的增大而減小．又△P₁OA₁的面積=

1

2

×0A₁×b=b．故當(dāng)點P₁的橫坐標逐漸增大時，△P₁OA₁的面積將逐漸減小．
（2）由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出點P₁的坐標，根據(jù)點P₁是反比例函數(shù)y=

k

x

圖象上的一點，利用待定系數(shù)法求出此反比例函數(shù)的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設(shè)A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點P₂的橫、縱坐標，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進而得出A₂點的坐標．

解答：解：（1）過P₁作P₁C⊥OA₁，垂足為C，
設(shè)P₁（a，b），
∵P₁在第一象限，
∴△P₁OA₁的面積=

1

2

×0A₁×b=b．
又∵當(dāng)k＞0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．
故當(dāng)點P₁的橫坐標逐漸增大時，△P₁OA₁的面積將逐漸減小．

（2）因為△P₁OA₁為邊長是2的等邊三角形，
所以O(shè)C=1，P₁C=2×

3

2

=

3

，
所以P₁（1，

3

）．
代入y=

k

x

，得k=

3

，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．
設(shè)A₁D=a，
則OD=2+a，P₂D=

3

a，
所以P₂（2+a，

3

a）．
∵P₂（2+a，

3

a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴代入y=

3

x

，得（2+a）•

3

a=

3

，
化簡得a²+2a-1=0
解得：a=-1±

2

．
∵a＞0，
∴a=-1+

2

．∴A₁A₂=-2+2

2

，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=2

2

，
所以點A₂的坐標為（2

2

，0）．

點評：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正三角形的性質(zhì)等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．