Question

如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉至△OA'B'，C點的坐標為（0，4）．
（1）求A'點的坐標；
（2）求過C，A'，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使以O，A，P為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點A'作A'D垂直于x軸，垂足為D，則四邊形OB'A'D為矩形．
在△A'DO中，A'D=OA'sin∠A'OD=4×sin60°
=2OD=A'B'=AB=2
∴點A'的坐標為（2，2）；
（2）∵C（0，4）在拋物線上，
∴c=4
∴y=ax²+bx+4．
∵A（4，0），A'（2，2），
在拋物線y=ax²+bx+4上
∴
解之得
∴所求解析式為y=+（2﹣3）x+4；
（3）①若以點O為直角頂點，由于OC=OA=4，點C在拋物線上，則點C（0，4）為滿足條件的點．
②若以點A為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（4，4）或（4，﹣4），代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上．
③若以點P為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（2，2）或（2，﹣2），代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上．綜上述在拋物線上只有一點P（0，4）使△OAP為等腰直角三角形．