Question

如圖，在△OAB中，OA=OB，以點O為圓心的⊙0經過AB的中點C，直線AO與⊙0相交于點D、E，連接CD、CE．
（1）求證：AB是⊙0的切線；
（2）求證：△ACD∽△AEC．

Answer 1

分析：（1）由在△OAB中，OA=OB，以點O為圓心的⊙0經過AB的中點C，根據三線合一的性質，可證得OC⊥AB，即可證得AB是⊙0的切線；
（2）易證得∠ACD=∠E，又由∠A是公共角，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△ACD∽△AEC．

解答：證明：（1）連接OC，
∵在△OAB中，OA=OB，點C是AB的中點，
∴OC⊥AB，
∵⊙0經過AB的中點C，
∴AB是⊙0的切線；

（2）∵AB是⊙0的切線，
∴∠OCD+∠ACD=90°，
∵DE是直徑，
∴∠DCE=90°，
∴∠E+∠CDE=90°，
∵OD=OC，
∴∠CDE=∠OCD，
∴∠ACD=∠E，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△AEC．

點評：此題考查了切線的判定與相似三角形的判定．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．