Question

如果f（x）=x²+x，證明方程4f（a）=f（b）無正整數(shù)解a，b．

Answer 1

分析：首先根據(jù)已知得到：4a²+4a=b²+b，然后分別將方程左右兩邊配方，即可知有一個為正整數(shù)時，另一個為無理數(shù)，則問題得證．

解答：解：∵f（x）=x²+x，
又∵4f（a）=f（b），
∴4（a²+a）=b²+b，
∴4a²+4a=b²+b，
∴（2a+1）²=b²+b+1，
∴2a+1=±

b2+b+1

，
若b是正整數(shù)，
∵b²+b+1不是完全平方式，
∴

b2+b+1

是無理數(shù)，
同理：b+

1

2

=±

4a2+4a+ 1 4

，
若a是正整數(shù)，
∵4a²+4a+

1

4

不是完全平方數(shù)，
∴

4a2+4a+ 1 4

是無理數(shù)，
∴方程4f（a）=f（b）無正整數(shù)解a，b．

點評：此題考查了一元二次方程的整數(shù)根與無理根的知識．解題的關(guān)鍵是配方知識的應(yīng)用．