Question

如圖1，邊長為5的正方形ABCD是20×20等距網格圖，E是AB的中點，DE將正方形ABCD分成明暗兩部分．線段MN的長度為5，MN的初始位置與AB重合．點M在AB上滑動，點N在BC上滑動，且MN的長度保持不變．

（1）如圖2，當AM等于1時，MN與DE相交于點O，求ON的長；
（2）如圖3，設AM=x，BN=t，MN落在明區部分的長度為y，試用x，t表示y；
（3）觀察圖1、2、3、4，說明y隨x的變化情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OF∥AD交AB于F，根據△EOF和△EDA相似求出OF=2EF，設EF=a，表示出MF、OF，再根據AM=1，求出BM，然后利用勾股定理列式求出BN，然后根據△MFO和△MBN相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出a的值，再求出MO：ON，利用勾股定理列式求出MN=5，然后求解即可；
（2）過點O作OF∥AD交AB于F，然后與（1）的思路相同求解即可；
（3）觀察圖形，分點M在點E上方與下方兩種情況解答．
解答：解：（1）如圖2，過點O作OF∥AD交AB于F，
則△EOF∽△EDA，
∴=，
∵E是AB的中點，
∴AE=BE=AB=×5=2.5，
∴=，
∴OF=2EF，
設EF=a，則MF=AE-AM-EF=2.5-1-a=1.5-a，
OF=2a，
∵AM=1，
∴BM=5-1=4，
根據勾股定理，BN===3，
∵OF∥AD∥BC，
∴△MFO∽△MBN，
∴=，
即=，
解得a=，
∴MF=1.5-=，
BF=a+2.5=+2.5=，
∴===，
∴ON=5×=；

（2）如圖3，過點O作OF∥AD交AB于F，
與（1）的解法相同，設EF=a，則MF=2.5-a-x，
OF=2a，
∵OF∥AD∥BC，
∴△MFO∽△MBN，
∴=，
即=，
解得a=，
∴=，
即=，
解得y=；

（3）由圖可知，當0＜x≤2.5時，y隨x增大而增大，
當2.5＜x＜5時，y不再變化，為MN的長，是5．
（說明：在（3）中，不論學生用“＜”，還是“≤”，只要分段正確，均不扣分；若注意區分“＜”和“≤”的用法，則酌情加1～4分）
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵，難點在于利用好中間量OF，運算量較大，計算時要認真仔細．