Question

（2004•錦州）如圖，⊙O與⊙P相交于B、C兩點(diǎn)，BC是⊙P的直徑，且把⊙O分成度數(shù)的比為1：2的兩條弧，A是上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接AB、AC分別交⊙P于D、E兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)△ABC是銳角三角形（圖①）時(shí)，判斷△PDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)△ABC是直角三角形、鈍角三角形時(shí)，請你分別在圖②、圖③中畫出相應(yīng)的圖形（不要求尺規(guī)作圖），并按圖①標(biāo)記字母；
（3）在你所畫的圖形中，（1）的結(jié)論是否成立？請就鈍角的情況加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)锽C將圓O分成1：2兩條弧，那么弧BC的度數(shù)就是120°，我們要利用這個(gè)度數(shù)來求解，連接DC，那么∠BAC=60°，而BC是圓P的直角，那么∠ACD=30°，而∠ACD所對的弧DE，圓P的圓心角∠DPE也正好對著這條弧，因此根據(jù)圓周角定理可得出∠DPE=60°，而PD=PE，因此三角形PDE是等邊三角形；
（3）結(jié)論仍然成立，方法與（1）相同．
解答：解：（1）△PDE是等邊三角形，連DC．
∵弦BC把⊙O分成度數(shù)的比為1：2的兩條弧，
∴的度數(shù)為120°，
∴∠BAC=60°
又∵BC為⊙P的直徑，∴∠BDC=90°，
又∵∠A=60°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DPE=60°
又∵PD=PE，
∴△PDE是等邊三角形；

（2）如圖②、圖③即為所畫圖形；

（3）圖②和圖③中△PDE仍為等邊三角形．
證明：如圖③，連接BE、DC
∵BC為⊙P的直徑，
∴∠BDC=90°
又∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°
又∵四邊形DBEC是⊙P的內(nèi)接四邊形，
∴∠DBE=∠DCA=30°，∠DPE=60°
又∵PD=PE，
∴△PDE是等邊三角形．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定等知識點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得出角的度數(shù)或倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．