Question

（2004•錦州）如圖，點P是x軸上一點，以P為圓心的圓分別與x軸、y軸交于A、B、C、D四點，已知A（-3，0）、B（1，0），過點C作⊙P的切線交x軸于點E．
（1）求直線CE的解析式；
（2）若點F是線段CE上一動點，點F的橫坐標為m，問m在什么范圍時，直線FB與⊙P相交？
（3）若直線FB與⊙P的另一個交點為N，當點N是的中點時，求點F的坐標；
（4）在（3）的條件下，CN交x軸于點M，求CM•CN的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連PC，利用OC²=OA•OB，得OC=，得C的坐標，利用CE是⊙P的切線，求E的坐標，
設直線CE的解析式為y=kx+b，將C、E兩點坐標代入解析式，可得直線CE的解析式；
（2）當0≤m≤3且m≠1時，直線FB與⊙P相交；
（3）先求得N（-1，-2）設直線NB的解析式為y=kx+b，把N、B兩點坐標代入解析式，
求直線NB的解析式．解兩直線表達式組成的方程組，求交點坐標；
（4）連接AC、BC，點N是的中點，易證△AMC∽△NBC．所以，即MC•NC=BC•AC．分別求相關線段的長得解．
解答：解：（1）連PC．
∵A（-3，0），B（1，0），
∴⊙P的直徑是4，
∴半徑R=2，OP=1．
又∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴OC²=OA•OB=3×1=3，
∴OC=．
∴C（0，）．                                           （1分）
又∵⊙P的半徑是2，OP=1，
∴∠PCO=30°．
又CE是⊙P的切線，
∴PC⊥CE．
∴∠PEC=30°．
∴PE=2PC=4，EO=PE-MP=3．
∴E（3，0）．                                             （2分）
設直線CE的解析式為y=kx+b，將C、E兩點坐標代入解析式，
得，解得．
∴直線CE的解析式為y=-x+①；（4分）

（2）∵m=1時，直線FB與⊙P相切，∴m≠1．
∵E（3，0），
∴當0≤m≤3且m≠1時，直線FB與⊙P相交；（6分）

（3）解法一：∵點N是的中點，
∴N（-1，-2）．
設直線NB的解析式為y=kx+b，把N、B兩點坐標代入解析式，
得，解得．
∴直線NB的解析式為y=x-1 ②．
由①，②式得，解得．
∴F（，-1）．                                       （10分）
解法二：過點F作FH⊥BE于H，
∵N是的中點，
則∠ABN=∠FBE=45°，
∴∠BFH=45°，∴BH=FH．
由（1）知∠CEP=30°，
∴HE=FH．
∵OE=OB+BH+HE，
∴1+FH+FH=3，FH=-1，
∴OH=OB+BH=1+（-1）=．
∴F（，-1）；

（4）連接AC、BC．
∵點N是的中點，
∴∠NCA=∠CAN，又∠CAB=∠CNB，
∴△AMC∽△NBC．
∴，
∴MC•NC=BC•AC．
∵OA=OE=3，
∴△ACE為等腰三角形．
∴AC=CE=，BC==2．
∴MC•NC=BC•AC=4．                                      （14分）
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的性質來表示相應的線段之間的關系，再結合具體圖形的性質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．