Question

（2003•十堰）已知二次函數y=ax²-5ax+b（a≠0）與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸交于點C，其中0＜x₁＜x₂，線段AB的長為3，O為坐標系原點，且有tan∠OAC=2，tan∠OBC=，求此二次函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：根據∠OAC和∠OBC的正切值，可用|b|表示出OB，OA的長，即x₂，x₁的值，根據AB=3，可求出|b|的值．
令y=0，可得出一個關于x的一元二次方程，根據韋達定理和AB=3即可求出a的值．由此可得出二次函數的解析式．
解答：解：當x=0時，y=b．
∴C點坐標為（0，b），OC=|b|．
又∵A（x₁，0）B（x₂，0）0＜x₁＜x₂．
∴OA=x₁，OB=x₂；
tan∠OAC===2，∴x₁=；
tan∠OBC===，∴x₂=2|b|．
∴x₂-x₁=2|b|-==AB=3，
∴|b|=2，b=±2．
∵拋物線y=ax²-5ax+b（a≠0）與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂；
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=，
∴（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=25-=9，
∴a=，
∴當b=2時，a=，當b=-2時，a=-，
∴所求的拋物線的解析式為y=x²-x+2或y=-x²+ax-2，經檢驗知上述兩條拋物線均符合題意．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系．