Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點從點運動到點停止，連接，以長為直徑作.

（1）若，求的半徑；

（2）當與相切時，求的面積；

（3）連接，在整個運動過程中，的面積是否為定值，如果是，請直接寫出面積的定值，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是，

【解析】

（1）若，則 ,代入數值即可求得CD,從而求得的半徑.

（2）當與相切時，則CD⊥AB，利用△ACD∽△ABO，得出比例式求得CD，AD的長，過P點作PE⊥AO于E點，再利用△CPE∽△CAD，得出比例式求得P點的坐標，即可求得△POB的面積.

（3）①若 與AB有一個交點，則與AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD= ,則 ②若 與AB有兩個交點，設另一個交點為F，連接CF,則∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，過P點作PG⊥AB于G點，則DG= ，PG為△DCF的中位線，PG= , 則,綜上所述，△PAB的面積是定值，為 .

（1）根據題意得：OA=8，OB=6，OC=3

∴AC=5

∵

∴

即

∴CD=

∴ 的半徑為

（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，

∴AB= ，

當與相切時，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO

∴△ACD∽△ABO

∴ ，即

∴CD=3，AD=4

∵CD為圓P的直徑

∴CP=

過P點作PE⊥AO于E點，

則∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD

∴△CPE∽△CAD

∴

即

∴CE=

∴OE=

故P點的縱坐標為

∴△POB的面積=

（3）①若 與AB有一個交點，則與AB相切，

由（2）可得PD⊥AB，PD= ,則

②若 與AB有兩個交點，設另一個交點為F，連接CF,則∠CFD=90°，

由（2）可得CF=3，

過P點作PG⊥AB于G點，則DG= ，PG為△DCF的中位線，PG= ,

則.

綜上所述，△PAB的面積是定值，為 .