Question

如圖1，已知l₁∥l₂，點A、B在直線l₁上，AB=4，過點A作AC⊥l₂，垂足為C，AC=3．過點A的直線與直線l₂交于點P，以點C為圓心，CP為半徑作圓C（如圖2）．
（1）當CP=1時，求cos∠CAP的值；
（2）如果圓C與以點B為圓心，BA為半徑的圓B相切，求CP的長；
（3）探究：當直線AP處于什么位置時（只要求出CP的長），將圓C沿著直線AP翻折后得到的圓C′恰好與直線l₂相切？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據銳角三角函數的性質，求出AP=

10

，即可得出cos∠CAP；
（2）利用相切兩圓的性質，得出即可；
（3）利用圓C'與直線相切，C'P⊥CP，且C'P=CP； 即∠CPA=45°； 所以CP=AC=3，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AC=3，CP=1，AC⊥CP，
∴AP=

10

，
∴cos∠CAP=

AC

AP

=

3

10

=

3 10

10

；


（2）∵圓C與以點B為圓心，BA為半徑的圓B相內切，
AB=4，AC=3，
∴B、C為圓心
∴BC=5
CP=5+4=9；
圓C與以點B為圓心，BA為半徑的圓B相外切，
AB=4，AC=3，
∴B、C為圓心
∴BC=5
CP=5-4=1，


（3）∵將圓C沿著直線AP翻折后得到的圓C′恰好與直線l₂相切，
∴CC'⊥AP； 圓C'與直線相切，C'P⊥CP，且C'P=CP； 即∠CPA=45°； 所以CP=AC=3．
∴當線段CP的長為3時，將圓C沿著直線AP翻折后得到的圓C′恰好與直線l₂相切．

點評：此題主要考查了切線的性質和勾股定理以及銳角三角函數的定義等知識，根據已知靈活應用切線的性質定理是解決問題的關鍵．