Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓O交AC于點D，交BC于點E，以點B為頂點作∠CBF，使得∠CBF＝∠BAC，交AC延長線于點F連接BD、AE，延長AE交BF于點G，

（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）求證：ACBC＝BDAG；（3）若BC＝2，CD：CF＝4：5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑OA＝5．

【解析】

（1）由圓周角定理得出∠AEB＝∠ADB＝90°，得出AE⊥BC，由等腰三角形的性質得出∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC，證出∠BAE＝∠CBF，證出∠ABF＝90°，得出BF⊥OB，即可得出結論；

（2）證出∠DBC＝∠BAE，證明△BDC∽△ABG，得出，即可得出結論；

（3）由（2）得：∠DBC＝∠CBF，由角平分線性質得出，設BD＝4x，則BF＝5x，由勾股定理得：DF＝ ＝3x，證明△ABD∽△BFD，得出，求出AB＝x，AD＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，在Rt△BDC中，由勾股定理得出方程，解方程得x＝ ，得出AB＝10，即可得出⊙O的半徑．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

∴AE⊥BC，∠ABE+∠BAE＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，

∵∠CBF＝∠BAC，

∴∠BAE＝∠CBF，

∴∠ABE+∠CBF＝90°，

∴∠ABF＝90°，

∴BF⊥OB，

∴BF為⊙O的切線；

（2）證明：∵∠DBC＝∠CAE，∠BAE＝∠CAE，

∴∠DBC＝∠BAE，

∵∠BDC＝90°＝∠ABG，

∴△BDC∽△ABG，

∴，

∴ABBC＝BDAG，

∵AB＝AC，

∴ACBC＝BDAG；

（3）解：由（2）得：∠DBC＝∠CBF，

∴，

設BD＝4x，則BF＝5x，

由勾股定理得：DF＝＝3x，

∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠F＝90°，

∴∠ABD＝∠F，

∵∠ADB＝∠BDF＝90°，

∴△ABD∽△BFD，

∴，即，

解得：AB＝x，AD＝x，

∴AC＝AB＝x，

∴CD＝AC﹣AD＝x，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：（4x）2+（x）2＝（2 ）2，

解得：x＝ ，

∴ABx＝10，

∴⊙O的半徑OA＝5．