Question

【題目】如圖①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，點D是AC邊上一點（不與C重合），以AD為直徑作⊙O，過C作CE切⊙O于E，交AB于F．

（1）若⊙O半徑為2，求線段CE的長；

（2）若AF＝BF，求⊙O的半徑；

（3）如圖②，若CE＝CB，點B關于AC的對稱點為點G，試求G、E兩點之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）CE＝4；（2）⊙O的半徑為3；（3）G、E兩點之間的距離為9.6

【解析】

（1）根據切線的性質得出∠OEC=90°，然后根據勾股定理即可求得；

（2）由勾股定理求得BC，然后通過證得△OEC∽△BCA，得到，即 解得即可；

（3）證得D和M重合，E和F重合后，通過證得△GBE∽△ABC，，即，解得即可.

解：（1）如圖①，連接OE，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∵AC＝8，⊙O的半徑為2，

∴OC＝6，OE＝2，

∴CE＝ ；

（2）設⊙O的半徑為r，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝ ＝6，

∵AF＝BF，

∴AF＝CF＝BF，

∴∠ACF＝∠CAF，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝∠ACB，

∴△OEC∽△BCA，

∴，即

解得r＝3，

∴⊙O的半徑為3；

（3）如圖②，連接BG，OE，設EG交AC于點M，

由對稱性可知，CB＝CG，

∵CE＝CG，

∴∠EGC＝∠GEC，

∵CE切⊙O于E，

∴∠GEC+∠OEG＝90°，

∵∠EGC+∠GMC＝90°，

∴∠OEG＝∠GMC，

∵∠GMC＝∠OME，

∴∠OEG＝∠OME，

∴OM＝OE，

∴點M和點D重合，

∴G、D、E三點在同一直線上，

連接AE、BE，

∵AD是直徑，

∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，

又CE＝CB＝CG，

∴∠BEG＝90°，

∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，

∴A、E、B三點在同一條直線上，

∴E、F兩點重合，

∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，

∴△GBE∽△ABC，

∴ ，即

∴GE＝9.6，

故G、E兩點之間的距離為9.6．