Question

23、如圖，在△ABC中，用尺規作∠ABC的平分線BD，交AC于D，作線段BD的垂直平分線EF，分別交AB于E，BC于F，垂足為O，連接DE、DF，判斷四邊形BFDE的形狀，并加以證明．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析：（1）可根據基本作圖中角平分線和線段垂直平分線的做法進行作圖．
（2）根據EF是BD的垂直平分線，那么BO=OD，只要證明OE=OF（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），BE=BF（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）就能得出BFDE是菱形了，那么只要證明三角形BOE和BOF全等即可，這兩個三角形中，都有一個直角，∠ABD=∠CBD，又有一條公共邊，那么構成了全等三角形判定中的ASA的條件，兩三角形全等，這樣就可得出BE=BF，OE=OF，就能得出BFDE是菱形了．

解答：解：四邊形BFDE為菱形．
證明：∵EF垂直平分BD，
∴∠EOB=∠BOF=90°，BO=DO，
又∵∠ABD=∠CBD，BO=BO，
∴△BEO≌△BFO（ASA）．
∴BE=BF，OE=OF．
∴四邊形EBFD為平行四邊形．
又∵BE=BF，
∴?EBFD為菱形．

點評：本題考查了基本作圖以及菱形的判定．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．