Question

已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD⊥AB于D，點P在BA的延長線上，且∠PCD=∠DOC，OD：AD=1：2，PA=6，
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑長；
（3）求sin∠APC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠DOC+∠OCA=90°，∠PCD=∠DOC，∠OCB=90°，判定PC是⊙O的切線．
（2）證明△OCP∽△ODC，根據相似三角形的性質求出半徑．
（3）求出OC：OP的值，即為所求．
解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°．
∴∠DOC+∠DCO=90°．（1分）
∵∠PCD=∠DOC，
∴∠PCD+∠DCO=90°．（1分）
∴∠DCP=90°．
∴PC是⊙O的切線．（1分）

（2）解：設OD=k，AD=2k，OC=OA=3k（k＞0），
∵∠DOC=∠DCO=90°，
又∵∠OCP=∠ODC=90°，
∴△OCP∽△ODC．
∴．
∴OC²=OD•OP．（5分）
∴（3k）²=k．
∴（3k+6）k=1．
∴OC=3k=3即⊙O的半徑為3．（1分）

（3）解：∵在R△OCP中OC=3，OP=9，
∴sin∠APC=．（2分）
點評：考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，及求三角函數．