Question

如圖9-1，9-2，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC邊上的兩個動點（與點A、B、C不重合），始終保持BD=CE.

（1）當點D、E運動到如圖9-1所示的位置時,求證：CD=AE.
（2）把圖9-1中的△ACE繞著A點順時針旋轉60°到△ABF的位置（如圖9-2），分別連結DF、EF.
① 找出圖中所有的等邊三角形(△ABC除外)，并對其中一個給予證明；
② 試判斷四邊形CDFE的形狀,并說明理由

Answer 1

（1）證明見解析（2）①△BDF，△AFE，證明見解析②平行四邊形，理由見解析

（1）∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠B=∠ECA=60°.                 …………………………（2分）
又∵BD=CE，     
∴△BCD≌△CAE.                         …………………………（3分）
∴CD=AE.                                …………………………（4分）
（2）① 圖中有2個正三角形，分別是△BDF，△AFE.   ……………………（6分）
由題設，有△ACE≌△ABF，
∴CE=BF，∠ECA=∠ABF=60°                  …………………………（7分）
又∵BD=CE，
∴BD=CE=BF，∴△BDF是正三角形，            ………………………（8分）
∵AF=AE，∠FAE=60°，
∴△AFE是正三角形.
② 四邊形CDFE是平行四邊形.              …………………………（9分）
∵∠FDB=∠ABC =60°
∴FD∥EC.
又∵FD=FB=EC，
∴四邊形CDFE是平行四邊形.                …………………………（11分）
（1）易證△BCD≌△CAE，即可得出；（2）①可得出BD=BF，∠ABF=60°；AF=AE，∠FAE=60°，所以，圖中有2個正三角形，分別是△BDF，△AFE；②可證得FD平行且等于EC，即可證得四邊形CDFE是平行四邊形．