Question

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，若⊙O只與△ABC的兩邊相切，且切點均在邊上，則⊙O的半徑r的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：過A點作AD⊥BC于D，根據等腰三角形的性質得到BD=DC=4，AD平分∠BAC，利用勾股定理得AD=3；若⊙O只與△ABC的AB、AC兩邊相切，則圓心O在AD上，當切點分別為點B和點C時，⊙O的半徑r最大，連OB、OC，易證Rt△ABD∽Rt△AOB，利用相似比可求出OD=，在Rt△OBD中利用勾股定理可計算出OB=，而當圓心在O′時，與三邊都相切，設與AB的切點為E，連O′E，易證Rt△AEO′∽Rt△ADB，利用相似比可求出OD=；若⊙O只與△ABC的BA、BC兩邊相切，當A為切點時，⊙O的半徑r最大，最大半徑小于AD=3，由此得到⊙O的半徑r的取值范圍是0＜r≤，且r≠．
解答：解：過A點作AD⊥BC于D，如圖，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=DC=4，AD平分∠BAC，
∴AD==3；
若⊙O只與△ABC的AB、AC兩邊相切，則圓心O在AD上
當切點分別為點B和點C時，⊙O的半徑r最大，
連OB、OC，如圖，
∴OB⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△AOB，
∴AB：AO=AD：AB，即5：（OD+3）=3：5，
∴OD=，
在Rt△OBD中，
OB===，
而當圓心在O′時，與三邊都相切，設與AB的切點為E，連O′E，如圖，
則O′E⊥AB，O′E=O′D，
∴Rt△AEO′∽Rt△ADB，
∴O′E：BD=AO′：AB，即O′E：4=（3-O′E）：5，
∴O′E=，
∴⊙O的半徑r的取值范圍是0＜r≤，且r≠；
若⊙O只與△ABC的BA、BC兩邊相切，
當A為切點時，⊙O的半徑r最大，最大半徑小于AD=3，
所以⊙O的半徑r的取值范圍是0＜r≤，且r≠．
故答案為0＜r≤，且r≠．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了等腰三角形的性質、勾股定理以及三角形相似的判定與性質．