Question

已知：如圖，在⊙O中，弦CD垂直直徑AB，垂足為M，AB=4，CD=，點E在AB的延長線上，且．求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：連接OD．根據垂徑定理，得DM==，在直角三角形ODM和直角三角形DME中，利用銳角三角函數分別求得∠DOM和∠E的度數，從而求得∠ODE的度數，即可證明DE是圓的切線．
解答：證明：連接OD．
∵弦CD⊥直徑AB，AB=4，CD=，
∴MD==，OD==2．
在Rt△OMD中，
∵sin∠DOM=，
∴∠DOM=60°．
在Rt△DME中，
∵，
∴∠E=30°．
∴∠ODE=90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．
點評：此題綜合運用了垂徑定理、銳角三角函數和切線的判定定理．