Question

如圖，菱形ABCD中，AB=5，AC=8，動點P以每秒1個單位的速度沿邊DA從點D運動到點A，動點Q同時以每秒1個單位的速度沿邊AB從點A運動到點B．連接BP交AC于點E，連接QE．設動點P、Q的運動時間為t秒．
（1）求BD的長．
（2）當t為何值時，QE∥AD？
（3）①在P、Q的運動過程中，請求出四邊形AQEP的面積S關于t的函數解析式，并寫出t的取值范圍；②當△AQE的外接圓經過點P時，寫出此時S的值．（直接寫出答案）

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=4，BD=2BO，∠AOB=90°，∠1=∠2，
∴OA²+OB²=AB²，
∵AB=5，
∴16+OB²=25，解得，
OB=3，
∴BD=6
（2）∵QE∥AD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AQ=QE．
∵PD=t，AQ=t，
∴AP=5-t，QB=5-t，QE=t，
∵QE∥AD，
∴△BQE∽△BAP，
∴，
∴，解得，
t₁=（舍去），t₂=，
∴t=時，QE∥AD．
（3）①∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠2=∠ACB，∠PEA=∠CEB，
∴△APE∽△CBE，∴，
∴，
∴AE=．
過點E作EF⊥AB于F，
∴△AEF∽△ABO，
∴，
∴，
EF=
S_{四邊形AQEP}=S_△ABE=•EF•AB=×5×=
∴S= （0＜t≤5）
②S=．

分析：（1）根據菱形的性質，由勾股定理先求出BO，再就可以求出BD的值了．
（2）由菱形的性質及QE∥AD可以得出∠1=∠3，得出QE=AQ，再根據相似三角形的性質就可以求出其結論．
（3）①利用△APE∽△CBE將AE表示出來，過點E作EF⊥AB于F，再根據△AEF∽△ABO表示出EF，最后利用三角形的面積公式就可以表示出結論；②由條件可以知道AEPQ四點共圓，得出∠AQE=∠APE=90°，由勾股定理可以求出其值．
點評：本題考查了菱形的性質，平行線的判定，相似三角形的判定及性質，三角形的面積及三角形的外接圓與外心．