Question

如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿B→C→D向終點D運動．同時動點Q從點A出發，以相同的速度沿A→D→B向終點B運動，運動的時間為x秒，當點P到達點D時，點P、Q同時停止運動，設△APQ的面積為y，則反映y與x的函數關系的圖象是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：分當0≤x＜2時；2≤x＜3，3≤x≤4，三種情況分別利用三角形的面積公式分別用x表示S_△AQP，然后根據求得的解析式得到對應的函數圖象即可得到答案．

解答：解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，
∴DB=2，
①當0≤x＜2時，過Q作QH⊥AB于H，

∵AQ=BP=x，
∴PQ=AB=2，
而∠A=60°，
∴QH=

3

2

x，
∴S_△AQP=

1

2

•2•

3

2

x=

3

2

x；
它的函數圖象為線段；
②當2≤x＜3，如圖，

過A作AH⊥DC于D，則AH=

3

，
DQ=x-2，PC=x-2，DP=4-x，
S_△APQ=S_△ADP-S_△ADQ-S_△PDQ
=

1

2

•

3

（4-x）-

1

2

•2•（x-2）•

3

2

-

1

2

•（x-2）（4-x）

3

2

=

3

4

（x-5）²-

5 3

4

；
它的函數圖象為拋物線的一部分，并且開口向上，
③當3≤x≤4，如圖，

S_△APQ=S_△ADB+S_△ADQ-S_△ADP-S_△ABQ
=

3

4

•2²+

1

2

•（x-2）•（4-x）-

1

2

•

3

（4-x）-

1

2

•2•

3

2

（4-x）
=-

1

2

x²+（3+

3

）x-4-3

3

；
它的函數圖象為拋物線的一部分，并且開口向下；
所以選項A正確．
故選A．

點評：本題考查了利用分類的思想求動點問題的函數圖象；也考查了三角形的面積公式以及一次函數和二次函數的圖象．