Question

若已知關于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個實根．
（1）試求m的取值圍；
（2）若這三個實根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，求此時m的取值范圍．
（3）若這三個實根作成的三角形是等腰三角形，求m值及三角形的面積．

Answer 1

解：（1）x=2是方程的一個根，則方程x²-4x+m=0必須有二個根，
所以，△=b²-4ac=16-4m≥0，
則m≤4．
（2）方程的三個實根為，
根據三角形的任兩邊之和必須大于第三邊得x₁+x₂＞x₃顯然成立；x₂+x₃＞x₁也顯然成立；，
又由（1）知m≤4，
所以，要使方程的三個實根作為一個三角形的三條邊長的m取值范圍為3＜m≤4；
（3）若三角形是等腰三角形，則x₁=x₂或x₁=x₃或x₂=x₃，
可得m=4，此時三角形為邊長等于2的等邊三角形，
三角形的面積為．
分析：（1）關于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個實根，即x²-4x+m=0有兩個實數根，根據一元二次方程根的判別式解答即可；
（2）求出方程的三個根，根據三角形的兩邊之和大于第三邊列不等式解答即可；
（3）根據等腰三角形的性質，令方程的三個根兩兩相等，據此解答即可．
點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系、三角形的面積、三角形三邊關系、等腰三角形的性質等知識，要注意轉化，將原方程轉化為一元一次方程和一元二次方程來解答．