Question

若已知關于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個實根．
（1）試求m的取值圍；
（2）若這三個實根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，求此時m的取值范圍．
（3）若這三個實根作成的三角形是等腰三角形，求m值及三角形的面積．

Answer 1

（1）x=2是方程的一個根，則方程x²-4x+m=0必須有二個根，（2分）
所以，△=b²-4ac=16-4m≥0，
則m≤4．（4分）
（2）方程的三個實根為x1=2，x2=2+

4-m

，x3=2-

4-m

，（5分）
根據三角形的任兩邊之和必須大于第三邊得x₁+x₂＞x₃顯然成立；x₂+x₃＞x₁也顯然成立；x1+x3＞x2?

4-m

＜1?m＞3，（7分）
又由（1）知m≤4，
所以，要使方程的三個實根作為一個三角形的三條邊長的m取值范圍為3＜m≤4；（8分）
（3）若三角形是等腰三角形，則x₁=x₂或x₁=x₃或x₂=x₃，（9分）
可得m=4，此時三角形為邊長等于2的等邊三角形，（10分）
三角形的面積為

3

．（12分）