Question

已知：關于x的二次函數y=-x²+（m+2）x-m．
（1）求證：不論m為任何實數，二次函數的圖象的頂點P總是在x軸的上方；
（2）設二次函數圖象與y軸交于A，過點A作x軸的平行線與圖象交于另外一點B．若頂點P在第一象限，當m為何值時，△PAB是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）只要求出頂點的縱坐標為正，就能確定頂點P總是在x軸的上方，根據頂點的縱坐標公式求解；
（2）根據圖形可以看出，對稱軸把等邊三角形分成兩個全等的30°的直角三角形，根據點的坐標與線段的關系可以求解．

解答：（1）證明：二次函數y=-x²+（m+2）x-m中，a=-1，b=m+2，c=-m，
∴頂點P的縱坐標為

4ac-b2

4a

=

4m-(m+2)2

4×(-1)

=

m2+4

4

＞0，
∴頂點P總在x軸上方；

（2）解：二次函數y=-x²+（m+2）x-m與y軸交于點A（0，-m），
頂點P（

m+2

2

，

m2+4

4

），
過P作PC⊥AB于C，則C（

m+2

2

，-m），
因為點P在第一象限，所以

m+2

2

＞0，
AC=

m+2

2

，PC=

m2+4

4

+m，
∵△PAB是等邊三角形，
∴∠PAC=60°，
由tan∠PAC=

PC

AC

得

m2+4

4

+m=

3

（

m+2

2

），
整理得：（m+2）²=2

3

（m+2），
∴m+2=2

3

∴m=2

3

-2，
即m=2

3

-2時，△PAB是等邊三角形．

點評：解答此題的關鍵是求出對稱軸，頂點縱坐標，然后由圖象解答，鍛煉了學生數形結合的思想方法．