Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝10，AC⊥AB，點E、F分別是BC，AD上的點，且BE＝DF．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若四邊形AECF是菱形時，請求出AE的長度；

（3）若四邊形AECF是矩形時，請直接寫出BE的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）3.6．

【解析】

（1）首先根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，AD＝BC，再證明AF＝EC，可證明四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由菱形的性質得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠ECA，由角的互余關系證出∠B＝∠BAE，得出AE＝BE，即可得出結果；

（3）由勾股定理求出AC，由面積法求出AE＝＝4.8，再由勾股定理即可得出BE的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝DF，

∴AF＝EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形AECF是菱形，

∴AE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90，

∴∠B+∠ECA＝90，∠BAE+∠EAC＝90，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE，

∴AE＝BE＝CE＝BC＝5；

（3）解：∵AC⊥AB，

∴AC＝＝＝8，

∵四邊形AECF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AE⊥BC，

∴AE＝＝＝4.8，

∴BE＝＝＝3.6．