Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足是E，連接DE交AC于F．
①求證：四邊形ADCE為矩形；
②求證：DF∥AB，DF=；
③當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE為正方形，簡述你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根據AE是△ABC的外角平分線，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四邊形ADCE為矩形；
（2）根據四邊形ADCE是矩形，可知F是AC的中點，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中點，故DF是△ABC的中位線，即DF∥AB，DF=；
（3）根據矩形的性質可知當△ABC是等腰直角三角形時，則∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性質定理可知對應邊AD=CD．再運用臨邊相等的矩形是正方形．問題得證．
解答：證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC垂足是D，
∴AD平分∠BAC，∠B=∠5，
∴∠1=∠2，
∵AE是△ABC的外角平分線，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形．

（2）∵四邊形ADCE是矩形，
∴AF=CF=AC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC，
∴DF是△ABC的中位線，
即DF∥AB，DF=．

（3）當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ADCE為正方形．
∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC
∴∠5=∠2=∠3=45°，
∴AD=CD，
又∵四邊形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE為正方形．
點評：此題考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定與性質和三角形外角平分線的性質，具有一定的綜合性，需要靈活應用．