Question

某公司以每噸200元的價格購進某種礦石原料300噸，用于生產甲、乙兩種產品．生產1噸甲產品或1噸乙產品所需該礦石和煤原料的噸數如下表：
煤的價格為400元/噸．生產1噸甲產品除原料費用外，還需其它費用400元，甲產品每噸售價4600元；生產1噸乙產品除原料費用外，還需其它費用500元，乙產品每噸售價5500元．現將該礦石原料全部用完．設生產甲產品x噸，乙產品m噸，公司獲得的總利潤為y元．
（1）寫出m與x之間的關系式；
（2）寫出y與x之間的函數表達式（不要求寫出自變量的范圍）；
（3）若用煤不超過200噸，生產甲產品多少噸時，公司獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？

產品 資源	甲	乙
礦石（t）	10	4
煤（t）	4	8

Answer 1

解：（1）m與x之間的關系式為：m==75-2.5x．

（2）生產1噸甲產品獲利：4600-（10×200+4×400+400）=600；
生產1噸乙產品獲利：5500-（4×200+8×400+500）=1000．
y與x的函數表達式為：y=600x+×1000=-1900x+75000；

（3）根據題意列出不等式
解得30≥x≥25．
∴y與x的函數表達式為：y═-1900x+75000，
∴y隨x的增大而減小，
∴當生產甲產品25噸時，公司獲得的總利潤最大．
y最大=-1900×25+75000=27500（元）．
分析：（1）∵生產甲產品x噸，則用礦石原料10x噸．∴生產乙產品用礦石原料為（300-10x）噸，由此得出m=．
（2）先求出生產1噸甲、乙兩種產品各獲利多少，然后可求出獲得的總利潤．
（3）由于總利潤y是x的一次函數，先求出x的取值范圍，再根據一次函數的增減性，求得最大利潤．
點評：此題考查用函數的知識解決實際問題．解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．