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(2006•株洲)如圖:已知拋物線y=x2+x-4與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,O為坐標原點.
(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上,頂點F,G分別在線段BC,AC上,設OD=m,矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數關系式,并指出m的取值范圍;
(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時,連接對角線DF并延長至點M,使FM=DF.試探究此時點M是否在拋物線上,請說明理由.
【答案】分析:(1)讓二次函數解析式的y=0,求得A,B的橫坐標,讓x=0,求得C的縱坐標.
(2)根據DG∥AC,可得△ADG∽△AOC,利用相似比可求得用m表示的DG長;同理可得△CFG∽△CBA,利用相似比可求得用m表示的FG長.那么矩形的面積=DG×FG
(3)利用(2)所給的二次函數解析式求得相應的m的取值時的最值.作MN⊥AB,垂足為N,則有MN∥FE,利用相似可求得有關點M的橫縱坐標的相關線段長.把橫坐標代入二次函數解析式,看是否等于縱坐標即可.
解答:解:(1)A(2,0),B(-8,0),C(0,-4).(3分)

(2)由△ADG∽△AOC,可得
∴DG=2(2-m),(4分)
同理可得△CFG∽△CBA,
∴DE=5m,(5分)
∴S=DG×DE=2(2-m)•5m=20m-10m2
∴S與m的函數關系式為S=-10m2+20m,且0<m<2.(6分)

(3)由S=-10m2+20m可知m=1時,S有最大值10,此時D(1,0),DE=5,EF=2.(7分)
過點M作MN⊥AB,垂足為N,則有MN∥FE,

又有
得DN=7,
∴N(-6,0),,(8分)
在二次函數y=x2+x-4中,當x=-6時,
∴點M不在拋物線上.(9分)
點評:與x軸的交點的縱坐標為0,與y軸的交點的橫坐標為0.主要運用了相似三角形的對應邊成比例的性質得到所求.
練習冊系列答案
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(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時,連接對角線DF并延長至點M,使FM=DF.試探究此時點M是否在拋物線上,請說明理由.

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(1)當b=3時,求經過B,C兩點的直線的解析式;
(2)當B點在y軸上運動時,直線BC與⊙O′有哪幾種位置關系?并求每種位置關系時b的取值范圍.

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