Question

（2006•株洲）如圖，在直角坐標系中，點O′的坐標為（-2，0），⊙O′與x軸相交于原點O和點A，又B，C兩點的坐標分別為（0，b），（1，0）．
（1）當b=3時，求經過B，C兩點的直線的解析式；
（2）當B點在y軸上運動時，直線BC與⊙O′有哪幾種位置關系？并求每種位置關系時b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設經過B，C兩點的直線的解析式為y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入即可求出未知數的值，從而求出其解析式；
（2）點B在y軸上運動時，直線BC與⊙O'的位置關系有相離、相切、相交三種．
當點B在y軸上運動到點E時，恰好使直線BC切⊙O'于點M，連接O'M，則O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，由于CO'=3，O'M=2，故CM=，由Rt△CMO'∽Rt△COE，可得=，即OE=．
由圓的對稱性可知，直線BC與⊙O'相離、相切、相交時b的值．
解答：解：（1）設經過B，C兩點的直線的解析式為y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入得，
解得．
故直線的解析式為y=-3x+3．

（2）點B在y軸上運動時，直線BC與⊙O'的位置關系有相離、相切、相交三種．
當點B在y軸上運動到點E時，恰好使直線BC切⊙O'于點M，連接O'M，則O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，CO'=3，O'M=2，
∴CM=．
由Rt△CMO'∽Rt△COE，可得=．
∴OE=．
由圓的對稱性可知，當b=±時，直線BC與圓相切；
當b＞或b＜-時，直線BC與圓相離；
當-＜b＜時，直線BC與圓相交．
點評：本題很復雜，涉及到用待定系數法求函數解析式，及直線與圓的位置關系，是中學階段的重點與難點．