Question

如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
（1）寫出圖中所有相等的線段，并選擇其中一對給予證明．
（2）若AD=1，求BE的長．

Answer 1

解：（1）ED=DA，EA=EC=BE（2分）
證明：∵CE⊥BD，∴△CED是直角三角形（3分）
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30°．（4分）
∴CD=2DE．（5分）
∵CD=2DA，∴DE=DA．（6分）

（2）在Rt△ECD中，
DE=DA=1，∠BDC=60°，
∴CE=，
∴BE=（10分）
分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可證得ED=DA；
（2）利用（1）的結果ED=DA=1，在直角三角形CDE中，∠BDC=60°，ED=1，利用特殊角的三角函數值求得CE=；又有EA=EB=EC，所以BE=．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形、解直角三角形．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意掌握數形結合思想的應用與有兩角對應相等的三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半定理的應用．