Question

（2005•蘭州）如圖，在內切的兩圓中，設C為小圓的圓心，O為大圓的圓心，P為切點，⊙O的弦PQ和⊙C相交于R，過點R作⊙C的切線與⊙O交于A、B兩點，求證：Q是弧AB的中點．

Answer 1

【答案】分析：此題根據兩圓相切，切點一定在連心線上，可以作輔助線．連接過切點的半徑可以得到直角．要證明弧相等，結合垂徑定理的推論，只需證明OQ⊥AB．所以根據同位角相等，證明出OQ∥CR，此題可解．
解答：證明：連接OC并延長，則延長線必經過切點P，連接CR；
∵CP=CR，
∴∠P=∠CRP．
∵OP=OQ，
∴∠P=∠Q．
∴∠CRP=∠Q．
∴CR∥OQ．
∵AB與⊙O相切于點R，
∴CR⊥AB．
∴OQ⊥AB．
∴Q是弧AB的中點．
點評：此題綜合運用了兩圓相切的性質、切線的性質定理、平行線的判定定理、等邊對等角以及垂徑定理的推論．