Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，兩個函數y＝x，y＝﹣x+6的圖象交于點A．動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQ∥x軸交直線BC于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設它與△OAB重疊部分的面積為S．

(1)求點A的坐標．

(2)試求出點P在線段OA上運動時，S與運動時間t（秒）的關系式．

(3)在(2)的條件下，S是否有最大值若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由．

(4)若點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動，當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時，運動時間t滿足的條件是　 　．

Answer 1

【答案】(1)A（4，4）；(2)見解析；(3)有最大值，當t=2時，S的最大值為12；(4)t≥12．

【解析】

（1）因為兩個函數y=x，y=-x+6的圖象交于點A，所以將兩個函數的解析式聯立，得到方程組，解之即可；

（2）因為點P在直線OA即y=x上以每秒1個單位的速度運動，所以OP=t，而OA是第一、三象限坐標軸夾角的平分線，所以點P坐標為(t，t)，又因PQ∥x軸交直線BC于點Q，所以可得點Q的縱坐標為t，并且點Q在y=-x+6上，因此可得到關于x、t的關系式，經過變形可用t表示x，即得到點Q坐標為(12t，t)，PQ＝12t，當重疊部分是正方形時，分情況代入面積公式中求解；

（3）結合（2）中的關系式可知有最大值，并且最大值應在0＜t≤3中，利用二次函數最值的求法就可得到S的最大值為12；

（4）若點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動，當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時，此時重合部分就是△AOB，B的坐標為（12，0），并且有PB⊥OB，PB=OB=12，所以OP=12，即t≥12．

(1)由可得，

∴A（4，4）；

(2)點P在y＝x上，OP＝t，

則點P坐標為，

點Q的縱坐標為，并且點Q在y＝﹣x+6上，

∴ ，

即點Q坐標為，，

當時，，

當時， ，

當點P到達A點時，t=2，

當3﹤t﹤4時，S=，

＝；

(3)有最大值，最大值應在中，

，

當t=2時，S的最大值為12；

(4)當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時，此時重合部分就是△AOB，

∵B的坐標為（12，0），PB⊥OB，

∴PB＝OB＝12，

∴OP＝12，

∴t≥12．