Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F點．
（1）當點D在BC的什么位置時，DE=DF？并證明．
（2）在滿足第一問的條件下，連接AD，此時圖中共有幾對全等三角形？并請給予寫出．
（3）過C點作AB邊上的高CG，請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關系？并加以證明．

Answer 1

（1）當點D在BC的中點上時，DE=DF，
證明：∵D為BC中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和△CFD中

∠B=∠C ∠DEB=∠DFC BD=CD

，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）


有3對全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD，
∵由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE=DF，BE=CF，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中

AD=AD AE=AF DE=DF

，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∵在△ADB和△ADC中

AB=AC AD=AD BD=CD

∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴有3對全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；


（3）CG=DE+DF
證明：連接AD，
∵S_三角形ABC=S_三角形ADB+S_三角形ADC，
∴

1

2

AB×CG=

1

2

AB×DE+

1

2

AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．