Question

如圖1，點G是正方形ABCD的邊DC上任意一點（不與D、C兩點重合），連接AC、AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E．
（1）試判斷線段DE、BF的長的大小關系，說明理由；
（2）試探究線段EF與DE、BF的長有何等量關系，并給予證明；
（3）如本題圖2，若E′是點E關于直線AC的對稱點，連接BE′，試探究DG、AG滿足什么條件時，射線BE′是∠FBC的角平分線？為什么？

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質就可以得出AB=AD，由BF⊥AG于點F，DE⊥AG據可以得出∠BAF=∠ADE，通過證明△ABF≌△DAE就可以得出結論；
（2）通過證明△ABF≌△DAE就可以得出AF=DE，BF=AE就可以得出結論BF=DE+EF；
（3）連接BE′，AE′，EE′，就可以得出AE=AE′，∠E′AC=∠EAC，就可以得出△BAE′≌△DAE，就可以得出∠ABE′=∠ADE，進而得出∠CBE′=∠CDE，可以得出∠ABF=∠FBE′=∠CBE′，就可以得出∠DAE=30°，進而得出結論AG=2DG．

解答：解：（1）DE＜BF
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
AB=BC=CD=DA，∠BAC=∠DAC=45°．
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AED=∠GED=AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°．，∠ABF+∠BAF=90°，
∵∠ADE+∠EDG=90°，∠BAF+∠DAE=90°
∴∠DAE=∠GDE=∠ABF．
在△ABF和△DAE中，

∠AFB=∠DEA ∠ABF=∠DAE AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠CAF=∠BAF＞45°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF＜45°，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，
∴DE∠BF；

（2）BF=DE+EF
理由：∵△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE．∠ABF=∠DAE．
∵AE=AF+EF，
∴BF=DE+EF；

（3）AG=2DG
連接BE′，AE′，EE′
∵E′是點E關于直線AC對稱，
∴AE=AE′，∠E′AC=∠EAC．
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC-，∠E′AC=∠DAC-∠EAC，
即∠ABE′=∠DAE．
在△BAE′和△DAE中，

AE=AE′ ∠ABE′=∠DAE AB=AD

，
∴△BAE′≌△DAE（SAS），
∴∠ABE′=∠ADE，
∴∠CBE′=∠CDE，
∴∠CBE′=∠ABF．
∵BE′是∠FBC的角平分線，
∴∠ABF=∠FBE′=∠CBE′．
∵∠ABF+∠FBE′+∠CBE′=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠DAE=30°，
∴在△RtADG中，
AG=2DG．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，三角形邊角關系的運用，大角對大邊，直角三角形的性質的運用，角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，軸對稱的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．