Question

如圖，動點P是正方形ABCD邊AB上運動（不與點A、B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE、DF．
（1）求證：∠ADP=∠EPB．
（2）若正方形ABCD邊長為4，點F能否為邊BC的中點？如果能，請你求出AP的長；如果不能，請說明理由．
（3）當

AP

AB

的值等于多少時，△PFD∽△BFP？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據∠ADP與∠EPB都是∠APD的余角，根據同角的余角相等，即可求證；
（2）假設F為BC的中點，且正方形邊長為4，求出FB=2，再由（1）得出的∠ADP=∠EPB，加上一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△PAD和△PFB相似，由相似得比例，將各自的值代入得出關于AP的方程，求出根的判別式小于0，得到此方程無解，故F不能為BC的中點；
（3）這兩個三角形是直角三角形，若相似，則對應邊的比相等，即可求得

AP

AB

的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：假設F為BC的中點，可得BF=CF=

1

2

BC=2，
∵∠ADP=∠EPB，∠A=∠ABC=90°，
∴△ADP∽△BPF，
∴

AD

BP

=

AP

BF

，即

4

4-AP

=

AP

2

，
整理得：AP²-4AP+8=0，
∵b²-4ac=16-32=-16＜0，
∴此方程無解，
則點F不能為邊BC的中點；

（3）解：當

AP

AB

=

1

2

時，△PFD∽△BFP，理由為：
設AD=AB=a，則AP=PB=

1

2

a，
∴BF=BP•

AP

AD

=

1

4

a，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

2

a，PF=

PB2+BF2

=

5

4

a，
∴

PB

PD

=

BF

PF

=

5

5

，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．

點評：本題主要考查了正方形的性質，以及三角形相似的判定與性質，是一道相似形綜合題．正確探究三角形相似的性質是解題的關鍵．